Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{tanA+tanB}{tanB}=\frac{2c}{b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得$cosA=\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求bc≤12，进而利用三角形面积公式可求最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为$\frac{tanA+tanB}{tanB}=\frac{2c}{b}$，
由同角三角函数基本关系和正弦定理得，$\frac{{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}}{{\frac{sinB}{cosB}}}=\frac{2sinC}{sinB}$，…（1分）
整理得：$\frac{sin（A+B）}{cosA}=2sinC$，…（3分）
又A+B=π-C，
所以sin（A+B）=sinC，
所以$cosA=\frac{1}{2}$．…（5分）
又A∈（0，π），
所以$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由余弦定理得：$12={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$，
即：b²+c²-bc=12，…（8分）
所以12=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当$b=c=2\sqrt{3}$时取等号，…（10分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}×12×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，
即△ABC面积的最大值为$3\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．