Question

（海南宁夏卷理23文23）已知曲线C₁：，曲线C₂：。

（1）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

（2）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）； ：（t为参数）．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．