Question

4．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）方程即（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）为圆心、以$\sqrt{3}$为半径的圆．而$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率k，设过原点的圆的切线方程为y=kx，根据圆心C到切线的距离等于半径，求得k的值，可得k的最值．
（2）设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=3上，则此直线与圆相切时，z取最值，根据圆心到直线的距离等于半径，求得z的值，即为所求．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y² =3，表示以C（2，0）为圆心、以$\sqrt{3}$为半径的圆．
而$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率k，设过原点的圆的切线方程为y=kx，
根据圆心C到切线的距离等于半径，可得 $\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，求得k=±$\sqrt{3}$，
故k的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$．
（2）设z=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=3 上，
使直线z=y-x在y轴上截距最大时，z取得最大值；
使直线z=y-x在y轴上截距最小时，z取得最小值．
则当直线x-y+z=0与圆相切时，z取得最值，∵圆心C（2，0），半径r=$\sqrt{3}$，
故当z取得最值时，有$\frac{|2-0+z|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，求得z=$\sqrt{6}$-2，或 z=-$\sqrt{6}$-2，
故z=y-x的最大值为$\sqrt{6}$-2，z=y-x的最小值为-2-$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．