Question

（满分12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．

（1）若a²－ab＝c²－b²，求A、B、C的大小；

（2）已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）A=5π /12 ，B=π /4 ． C=π/ 3；（2）1≤|3m-2n|＜ 7 ．

【解析】本试题主要是考查了解三角形中余弦定理的运用，以及两角差的正切公式的运用，以及向量的数量积综合运用问题，三角函数的性质等等知识点的交汇处命题。

（1）先将已知的正切关系式化简，再利用余弦定理得到角A,B,C的值

（2）因为向量的模的平方就是向量的平方，那么可知，结合角的范围可知得到三角函数的值域。

解：因为 3 （tanA-tanB）=1+tanA•tanB，

所以tan(A-B)=（tanA-tanB) /(1+tanA•tanB) = ，

∴A-B=π/ 6 ．…（2分）

（1）因为a²+b²-2abcosC=c2，所以cosC=1/ 2 ，∴C=π/ 3 ，…（4分）

A+B=2π/ 3 ，又A-B=π/ 6 ，

∴A=5π /12 ，B=π /4 ．…（6分）

（2）因为向量 m =(sinA，cosA)， n =(cosB，sinB)，

∴|3 m -2 n |2=13-12 m •  n =13-12sin(A+B)=13-12sin(2A-π 6 )…（8分） 0＜A＜π 2  0＜B＜π/ 2  0＜C＜π/ 2    ⇒ 0＜A＜π /2  0＜A-π /6 ＜π /2  0＜π-2A+π/ 6 ＜π/ 2    ⇒π/ 6 ＜A＜π/ 2 ．…（10分）

π /6 ＜2A-π /6 ＜5π/ 6 ，6＜12sina(2A-π /6 )≤12，

1≤|3m-2n|＜ 7 ．…（12分）