Question

已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F₁(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.

　　　　求证：

（Ⅲ）过点F₁(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值.

Answer 1

本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系的知识.考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力.

解 ：（1）由题意得：

                

           椭圆的方程为

       (2)方法一：

         由（1）知是椭圆的左焦点，离心率

         设为椭圆的左准线。则

         作，与轴交于点H(如图)

         点A在椭圆上

       

              

              

       

       同理

       。

方法二：

      当时，记，则

      将其代入方程   得

      设  ，则是此二次方程的两个根.

     

     

             ................(1)

      代入（1）式得       ........................(2)

      当时，  仍满足（2）式。

     

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得

                ，

   

    当时，取得最小值