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    某村有荒山若干亩，经改造飞播种草养殖大白山羊．第一年新生草量10万公斤，如果年新生草量不超过420万公斤，那么每年新生草量将以200%的增长率递增(旧草自然枯竭、落种)；若超过此量，草地有荒废的危险．每只大白羊平均年食草量为500公斤，该村从第二年起养殖大白羊量保持在200只．

    (1)

    写出年新生草量y与年份n的函数关系

    (2)

    第几年后应将养殖的大白羊总数增加到最大数量?最大数量为多少只?

    答案：
    解析：

    (1)

    　　解：200只大白山羊每年吃掉200×500×＝10万(公斤)新草．

    　　第一年新生草量　　10万公斤．

    　　第二年新生草量　　10(1＋200%)万公斤，

    　　第二年利余草量　　[10(1＋200%)－10]万，公斤，

    　　第三年新生草量

    　　[10(1＋200 %)－10)×(1＋200%)

    　　＝10(1＋200%)2 － 10(1＋200%)

    　　＝10×32－10×3，

    　　第三年利余草量　　10×32－10×3－10，

    　　……

    　　第n年新生草量

    　　y＝10×3n－1－10×3n－2

    　　－10×3n－3－…－10×3

    　　＝10×3n－1－10×3n－2－10×3n－3

    　　－…－10×3－10＋10

    　　＝10×3n－1－＋10，

    　　＝5×3n－1＋15．

    　　所以年新生草量y与年份n的函数关系为

    　　y＝(n≥2且y≤420)．

    　　分析：由特殊到一般探求规律．

    (2)

    　　当某一年的新生草量达到420万公斤时，该年必须养殖适量的大白山羊，控制所留草种使下年的新生草量不超过420万公斤，以免山坡荒废，又可使新草量达到最高值，此时满足

    5×3n－1＋15＝420，3n－1＝81，n＝5．

    　　所以第5年新生草量达到420万公斤，设该年大白山羊应吃掉新生草x万公斤，则

    (420－x)×(1＋200%)＝420．

    　　解得x＝280．

    280÷＝5 600．

    　　答：年新生草量y与年份，n的函数关系为

    y＝(n≥2且y≤420)．

    　　第5年应将养殖的大白山羊总数增加到最大数量，最大数量为5600只．

    　　点评：本题是某次应用题大赛的参赛题目，无论是题目本身还是解题过程都颇有新意．


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