Question

13．设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，且a₁+a₃=5，a₂+a₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₇+7，a_2k，-S_k成等差数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：a₇+7=2⁶+7=71，a_2k=2^2k-1，S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{2-1}$=2^k-1．a₇+7，a_2k，-S_k成等差数列，可得2a_2k=a₇+7-S_k，代入解出即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₃=5，a₂+a₄=10．
∴5q=10，解得q=2，代入a₁+a₃=5，可得${a}_{1}（1+{2}^{2}）$=5，解得a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）可得：a₇+7=2⁶+7=71，a_2k=2^2k-1，S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{2-1}$=2^k-1．
∵a₇+7，a_2k，-S_k成等差数列，
∴2a_2k=a₇+7-S_k，
∴2×2^2k-1=71-（2^k-1）．
化为：（2^k）²+2^k-72=0，2^k＞0，
解得2^k=8，∴k=3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．