Question

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=y$，则得到函数y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可
（Ⅱ）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．

解答 解：（1）如图所示，建立直角坐标系．
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$，（0≤x≤1）．
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$+x$\overrightarrow{AD}$=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），
∴$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$=（0，a）-（x-2，xa）=（2-x，a-xa）
∴y=f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-xa）•（2-x，a-xa）
=（2-x）²-ax（a-xa）
=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
∴f（1）=a²+1-（4+a²）+4=1
（Ⅱ）由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可知：对称轴x₀=$\frac{4+{a}^{2}}{2（{a}^{2}+1）}$．
当0＜a≤$\sqrt{2}$时，1＜x₀，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．
当a＞$\sqrt{2}$时，0＜x₀＜1，函数f（x）在[0，x₀）单调递减，在（x₀，1]上单调递增．
又f（0）=4，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（0）=4．
综上所述函数f（x）的最大值为4

点评 本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．