Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分其中①6分、②2分。

设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，已知.

（1）求抛物线的方程；

（2）设，过点作方向向量为的直线与抛物线相交于两点，求使为钝角时实数的取值范围；

（3）①对给定的定点，过作直线与抛物线相交于两点，问是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由。

②对，过作直线与抛物线相交于两点，问是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）①不存在

②当时，存在直线满足条件；

当且时，直线不存在。

【解析】设、列、解”三部曲是解答数学问题的基本方法，设的巧妙，列的合理，解的准确快速，这是考试的基本要求，也是平时训练的最高追求所在.抛物线的考查仍为热点，平面向量的渗入仍然是大趋势，把向量的表达式能熟练转化为其坐标表达式（特别是用其横坐标分量或是纵坐标分量的表示）显得非常重要；直线与抛物线的位置关系不会抛开二次方程的根与系数的关系，给定参数的范围求某变量的取值范围是高考数学在二次曲线板块的特点，应值得注意。

解：（1）由条件得，抛物线C的方程为；…………………. 4分

（2）直线方程为代入得，

设，则，

。……………………………. 6分

为钝角，，即

，

，……………………………. 8分

因此，……………….   9分

综上得。……………………….   10分

（3）①设过所作直线方程为代入得

，…………………………….11   分

设则，

，中点，………………….   12分

。……………………….   13分

设存在直线满足条件，则,     …………………………….  14分

对任意恒成立，

无解，这样的直线不存在。  ………………….    16分

②当时，存在直线满足条件；………………………….17分

当且时，直线不存在。      …………………………….18分

【解析】