Question

16.如图，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3,AA₁=4.M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交点为N.求：

（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（Ⅱ）PC和NC的长；

（Ⅲ）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

16.主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解：

（Ⅰ）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为=.

（Ⅱ）如图1，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁,则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线.

设PC=x,则P₁C=x.在Rt△MAP₁中，

由勾股定理得（3+x）²+2²=29,

求得x=2.

∴PC=P₁C=2.∵==,∴NC=.

图1

（Ⅲ）如图2，连接PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线.作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP₁.

图2

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°,

∴CH==1.在Rt△NCH中，tanNHC===,

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan.