Question

孝感雕花剪纸有着悠久的历史，既有北方粗犷苍劲的风格，又有南方玲珑细腻的特点．下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们剪纸的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多剪纸越漂亮．现按同样的规律剪纸（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为________．

Answer 1

解：图（1）中只有一个小正方形，得f（1）=1；
图（2）中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（3）=5；
图（3）中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13；
图（4）中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25；
…
以次类推，第n个图形中有2n-1层，以第n层为对称轴，有1+3+5+…+（2n-1）++…+5+3+1
=2[1+3+5+…+（2n-1）]-（2n-1）=2×-（2n-1）=2n²-2n+1个小正方形，得f（n）=2n²-2n+1．
故答案为：2n²-2n+1
分析：根据前4个图形进行归纳，得第n个图形中有2n-1层，从第1层到第n层依次为1、3、5、…、2n-1个，并且关于第n层成轴对称图形，由此结合等差数列求和公式，不难得到命题的答案．
点评：本题给出成一定规律排列的图形，叫我们找出第n个图形中小正方形的个数，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，属于基础题．