Question

已知抛物线过点A（-1，0），B（1，0），且以圆x²+y²=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（　　）

• A．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C．

  x2

  3

  -

  y2

  4

  =1（y≠0）
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  3

  =1（y≠0）

Answer 1

分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．

解答：解：设切线ax+by-1=0，则圆心到切线距离等于半径
∴

1

a2+b2

=2
∴

a2+b2

=

1

2

，
∴a²+b²=

1

4

设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得

y2+(x+1)2

 =

|-a-1|

a2+b2

y2+(x-1)2

=

|a-1|

a2+b2

平方相加得：x²+1+y²=4（a²+1）①
平方相减得：x=4a，
∴a=

x

4

②
把②代入①可得：x²+1+y²=4（

x2

16

+1）
即：

x2

4

+

y2

3

=1
∵焦点不能与A，B共线
∴y≠0
∴

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)
∴抛物线的焦点轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)
故选B．

点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．