Question

椭圆中心是原点O，它的短轴长为2

2

，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l：x=

a2

c

与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=0，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设

AP

=λ

AQ

 （λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：

FM

=-λ

FQ

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由条件|OF|=2|FA|列式，求出椭圆的离心率，然后结合短轴长2b=2

2

及a²=b²+c²可求a²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出过点A的直线方程，设出直线与椭圆相交于P、Q两点的坐标，联立直线方程和椭圆方程后求出P、Q两点的横坐标的和与积，由

OP

•

OQ

=0，得到P、Q两点的坐标的关系，转化为横坐标的关系后，把前面得到的和与积的表达式代入即可求出直线的斜率，则直线方程可求；
（Ⅲ）由向量的坐标表示写出

AP

，

AQ

，再由

AP

=λ

AQ

 （λ＞1）及P，Q两点的坐标都适合椭圆方程列式找出P，Q两点的坐标与λ的关系，最后把要证的等式的两边的坐标都用λ和纵坐标表示即可得证．

解答：解：如图，
（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由|OF|=2|FA|，得c=2（

a2

c

-c），整理得：3c²=2a²，∴e=

c

a

=

6

3

．
联立

3c2=2a2 b= 2 a2=b2+c2

，解得：a²=6，b²=2．
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，离心率e=

6

3

．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率显然存在，设其斜率为k（k≠0），且A（3，0）．
则直线l的方程为y=k（x-3），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1

，得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
由△=（-18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）=12（2-3k²）＞0，得：-

6

3

＜k＜

6

3

．
x1+x2=

18k2

3k2+1

，x1x2=

27k2-6

3k2+1

．
由

OP

•

OQ

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（kx₁-3k）（kx₂-3k）=(k2+1)x1x2-3k2(x1+x2)+9k2
=(k2+1)•

27k2-6

3k2+1

-3k2•

18k2

3k2+1

+9k2=0．
化简得：k2=

1

5

，∴k=±

5

5

，满足-

6

3

＜k＜

6

3

．
（Ⅲ）

AP

=(x1-3，y1)，

AQ

=(x2-3，y2)，
由已知得方程组

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，解得：x2=

5λ-1

2λ

．
∵F（2，0），M（x₁，-y₁）．
故

FM

=(x1-2，-y1)=（λ（x₂-3）+1，-y₁）
=(

1-λ

2

，-y1)=-λ(

λ-1

2

，y2)．
而

FQ

=(x2-2，y2)=(

λ-1

2λ

，y2)．
∴

FM

=-λ

FQ

．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题还应注意的是要保证直线和椭圆交点的存在性，此题是难题．