Question

（本题满分16分）

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.

（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；

（2）设数列的前项和为，且.

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

（3）设数列满足（），，，数列的前项和为，试问是否存在实数，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：又，

所以是周期为6的周期数列，………………2分

.

所以.………4分

解：（2）当时，，又得.………6分

当时,

，

即或.…………6分

①由有，则为等差数列，即，

由于对任意的都有，所以不是周期数列.…………8分

②由有，数列为等比数列，即，

存在使得对任意都成立，

即当时是周期为2的周期数列.…………10分

（3）假设存在，满足题设.

于是又即，

所以是周期为6的周期数列，的前6项分别为，…12分

则（），……14分

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，为使恒成立，只要，即可，

综上，假设存在，满足题设，，.……16分

【解析】略