Question

求证：函数f(x)=

5

x-1

在(1，+∞)上是减函数．

Answer 1

分析：定义法：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，作差得出f（x₁）-f（x₂），变形可判f（x₁）-f（x₂）的符号，可得函数的单调性．

解答：解：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

5

x1-1

-

5

x2-1

=

5(x2-1)-5(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

5(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

5(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f(x)=

5

x-1

在(1，+∞)上是减函数．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数单调性证明的定义法和式子变形的能力，属基础题．