Question

8．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）若F为BE的中点，求点F到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得AB⊥BD，由面面垂直得AB⊥平面EBD，由此能证明AB⊥DE；
（2）由（1）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D为原点，以DB为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ADE所成角正弦值，从而求出点F到平面ADE的距离．

解答 （1）证明：在△ABD中，
∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{+AD}^{2}-2AB•ADcos∠DAB}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD．
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE；
（2）解：由（1）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，
∴∠BDC=90°，故以D为原点，以DB为x轴，
以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
，
∵平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
则B（2$\sqrt{3}$，0，0），E（0，0，2），∵点F为BE的中点，∴F（$\sqrt{3}$，0，1），
A（2$\sqrt{3}$，-2，0），D（0，0，0），
∴$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，2，1），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2），
设平面DAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DA}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x-2y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设直线AF与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{n}$$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$＞|=|$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
直线AF与平面ADE所成角正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
∴点F到平面ADE的距离是$\frac{\sqrt{6}}{8}$•|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}×\sqrt{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．