Question

14．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，$\overrightarrow{p}$=（asin2C，c），$\overrightarrow{q}$=（$\frac{1}{sin（A+B）}$，1），且$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2b列出方程进行整理化简得出a，b，c的关系使用余弦定理解出A．
（2）利用正弦定理化边为角，可得l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC），然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），从而转化成三角函数求值域问题．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2b，∴$\frac{asin2C}{sin（A+B）}+c=2b$，
即2acosC+c=2b，∴cosC=$\frac{2b-c}{2a}$，
又∵cos=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∴2b²-bc=a²+b²-c²，
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}}$，
∴l=a+b+c=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sin（$\frac{π}{3}$+B））
=1+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴1＜2sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2，∴2＜l≤3，
∴△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、考查了基本运算能力．