Question

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 M=

a 0 0 b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

x2

4

+y2=1，求a，b的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cos∂ y=sin∂

(∂为参数)．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=

.

a 0 0 b

.

，则M-1=

.

b ab-0 0 ab-0 0 ab-0 a ab-0

.

代入a，b即可求解
（Ⅱ）设出曲线C：x²+y²=1任意一点为（x₀，y₀）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x₀，y₀）=（x，y）得到关于x₀，y₀与x，y间的关系，即

ax0=x by0=y

将之代入

x2

4

+y2=1得到的含x₀，y₀的方程应与x²+y²=1相同，根据待定系数即可运算
（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，

π

2

）根据公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可
（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为

x= 3 cos∂ y=sin∂

(∂为参数)，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=

| 3 cosα-sinα+4|

12+12

，即d=

|4+2sin( π 3 -α)|

2

，而2sin（

π

3

-α）∈[-2，2]，则d的最小值为

2

（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：-1＜2x-1＜1即可求解
（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）-（a+b）与0的大小，而（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）再根据a，b∈M即可得到（a-1）（b-1）的符号，即可求解．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵M=

a 0 0 b

∴M-1=

.

b ab-0 0 ab-0 0 ab-0 a ab-0

.

将a=2，b=3代入即得：M-1=

.

3 6 0 6 0 6 2 6

.

=

.

1 2 0 0 1 3

.

（Ⅱ）设出曲线C：x²+y²=1任意一点为（x₀，y₀）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），
∵M（x₀，y₀）=（x，y）
∴

ax0=x by0=y

将之代入

x2

4

+y2=1得：

a2 x 2 0

4

+b2

y

2 0

=1
即

a2 4 =1 b2=1

∵a＞0，b＞0
∴

a=2 b=1

（2）（Ⅰ）解∵P的极坐标为（4，

π

2

），

x=ρcosθ y=ρsinθ

∴P的直角坐标为（0，4）
∵直线l的方程为x-y+4=0
∴（0，4）在直线l上
（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为

x= 3 cos∂  ① y=sin∂  ②

(∂为参数)，直线l的方程为x-y+4=0
设曲线C的到直线l的距离为d
则d=

| 3 cosα-sinα+4|

12+12

=

|4+2sin( π 3 -α)|

2

∵2sin（

π

3

-α）∈[-2，2]
∴d的最小值为

2

（3）（Ⅰ）解：∵|2x-1|＜1
∴-1＜2x-1＜1
即0＜x＜1
即M为{x|0＜x＜1}
（Ⅱ）∵a，b∈M
∴a-1＜0．b-1＜0
∴（b-1）（a-1）＞0
∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0
即（ab+1）＞（a+b）

点评：本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题．