Question

某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元．全部投资都从银行贷款．从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元．这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足．地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长．求：
（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？
（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？
（精确到元，1亿=1×10⁸）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，可得地铁营运n年的收入，利用当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金，建立不等式，即可求得结论；
（2）市政府各年为1公里地铁支付费用，第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1，求出n年累计，将n=8代入得，即可得解．
解答：解：（1）根据年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，可得地铁营运n年的收入a_n=0.0124×（1+0.2）^n-1，…（2分）
根据题意有：0.0124×（1+0.2）^n-1＞0.05，…（4分）
解得n≥9年．
答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金．…（6分）
（2）市政府各年为1公里地铁支付费用
第1年：0.05-0.0124；
第2年：0.05-0.0124×1.2；
…
第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1．…（2分）
n年累计为：0.05n-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2^n-1]，…（4分）
将n=8代入得，0.05×8-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2⁷]=0.1954113485亿．…（8分）
答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为一公里地铁共支付19541135元费用．（9分）
点评：本题考查等比数列模型，考查数列的求和，考查解不等式，解题的关键是确定数列的模型，属于中档题．