Question

已知圆C通过不同的三点P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PQ为直径且PC的斜率为-1．
（1）试求⊙C的方程；
（2）过原点O作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁交⊙C于E，F两点，l₂交⊙C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设出圆的一般方程，表示出圆心坐标即可表示出CP的斜率等于-1列出④，然后分别把Q和R点的坐标代入圆的方程得到①和②，根据PQ为直径，利用中点坐标公式得到③，联立①②③④即可求出D、E、F得到⊙C的方程；
（2）设圆心到l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，根据垂径定理求出距离的平方和及勾股定理得到EF²+GH²=74≥2EF•GH，而因为四边形的对角线互相垂直得四边形的面积S=

1

2

EF•GH，代入即可求出面积的最大值．

解答：解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则C点的坐标为（-

D

2

，-

E

2

），且PC的斜率为-1，
因为圆C通过不同的三点P（m，0），Q（2，0），R（0，1）
所以有

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = 2+m 2 - E 2 -0 - D 2 -m =-1

解之得

D=1 E=5 F=-6 m=-3

所以圆C的方程为x²+y²+x+5y-6=0，．
（2）圆心C(-

1

2

，-

5

2

)，设圆心到l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，
则d12+d22=OC2=

13

2

，
又(

EF

2

)2+d12=R2，(

GH

2

)2+d22=R2，
两式相加，得：EF²+GH²=37≥2EF•GH，
∴S=

1

2

EF•GH≤

37

2

，即（S_{四边形EFGH}）_max=

37

4

．

点评：考查学生会根据条件求圆的一般方程，灵活运用垂径定理及勾股定理解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．掌握四边形对角线垂直时面积等于对角线乘积的一半．以及会利用基本不等式求函数的最值．