Question

已知点A(x1，2x1)、B(x2，2x2)是函数y=2^x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

成立．运用类比思想方法可知，若点A（x₁，sin₁）、B（x₂，sinx₂）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有

 

成立．

Answer 1

分析：根据函数y=2^x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到不等式

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

，再根据y=sinx（x∈（0，π））的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．

解答：解：∵函数y=2^x上任意两点A（a，a³），B（b，b³）线段AB在弧线段AB的上方，
函数f（x）=x³（x＞0）的图象是向下凹的，
可得不等式

2x1+2x2

2

＞2

x1+x2

2

，
据此我们从y=sinx（x∈（0，π））图象可以看出：
y=sinx（x∈（0，π））图象是向上凸的，
故可知

sinx1+sinx2

2

＜sin

x1+x2

2

，
故答案为

sinx1+sinx2

2

＜sin

x1+x2

2

．

点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法．