Question

下列命题中，真命题的序号是

 

①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，则数列{a_n}是等差数列．
③锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是

7

＜a＜5．
④等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知a_m-1+a_m+1-a_m²=0，S_2m-1=38，则m=10．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：①，△ABC中，利用正弦定理，可判断①；
②，由数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1可求得a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

，从而可判断②；
③，利用锐角三角形的概念知3²+a²＞4²，且3²+4²＞a²，整理后可判断③；
④，利用等差数列的性质可求得a_m=0（舍）或a_m=2；再利用S_2m-1=（2m-1）a_m=38，可求得m的值，从而可判断④．

解答： 解：对于①，△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理知，a＞b?sinA＞sinB，所以△ABC中，A＞B?sinA＞sinB，即①正确；
对于②，数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n+1，
当n=1时，a₁=S₁=1²-2×1+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n²-4n+3）=2n-3，
n=1时，a₁=0不适合上式，
所以a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

，显然数列{a_n}不是等差数列，故②错误；
对于③，锐角三角形的三边长分别为3，4，a，
则3²+a²＞4²，且3²+4²＞a²，整理得：7＜a²＜25，
所以a的取值范围是

7

＜a＜5，故③正确；
对于④，等差数列{a_n}前n项和为S_n，由a_m-1+a_m+1-a_m²=0得：2a_m=a_m²，
所以，a_m=0或a_m=2；
由于S_2m-1=（2m-1）a_m=38，
所以，a_m=2，2m-1=

38

2

=19，解得m=10，故④正确．
综上所述，真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列的判定与等差数列的性质的应用，考查正弦定理与三角形性形状的判定，属于中档题．