Question

如图,点M,N是边长为4的正△ABC的边AB,AC的中点,现将△AMN沿MN折起,使平面AMN⊥平面BCNM.在四棱锥A—BCNM中,

(1)求异面直线AM与BC所成的角;

(2)求直线BA与平面ANC所成角的正弦值;

(3)在线段AB上,是否存在一个点Q,使MQ⊥平面ABC?若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)∵BC∥MN,∠AMN就是异面直线AM与BC所成的角,

∴异面直线AM与BC所成的角为60°.

(2)取MN,BC的中点为O,D,

这时OD⊥MN,平面AMN⊥平面BCNM,

∴AO⊥平面BCNM.

分别以直线NM,OD,OA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,

则A(0,0,),B(2,,0),C(-2,,0),N(-1,0,0),M(1,0,0).

设平面ANC的法向量为n=(x,y,z),

则

∴

取n=(x,y,z)=(3,,-),又=(2,,-).

从而cos〈n,〉=,

∴直线BA与平面ANC所成角的正弦值为.

(3)假设在线段AB上存在Q(x,y,z),

设=λ,

则(x-2,y-,z)=λ(-2,-,),

这时x=2-2λ,y=-λ,z=λ,

从而MQ=(1-2λ,-λ,λ),解得λ=.

∴存在点Q,使MQ⊥平面ABC,点Q是AB的中点.