Question

定义域为的函数f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^x+2^-x
（1）请分别指出函数y=f（x）与函数y=g（x）的奇偶性、单调区间、值域和零点；（将结论填入答题卡，不必证）
（2）设h(x)=

f(x)

g(x)

，请判断函数y=h（x）的奇偶性、单调区间，并证明你的结论．（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）

Answer 1

分析：（1）利用函数的解析式，直接可以判断奇偶性、单调区间、值域和零点；
（2）先化简函数，可得结论，再证明结论成立即可．

解答：解：（1）函数f（x）=2^x-2^-x为奇函数，在R上单调递增，值域为R，零点为0；函数g（x）=2^x+2^-x为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，值域为[2，+∞），无零点；
（2）h(x)=

f(x)

g(x)

=

2x-2-x

2x+2-x

=

22x-1

22x+1

函数为奇函数，在R为增函数．证明如下：
h(x)=

f(x)

g(x)

的定义域为R，则h（-x）=

2-2x-1

2-2x+1

=

1-22x

1+22x

=-h（x），∴函数为奇函数，
∵h（x）=

22x-1

22x+1

=1-

2

22x+1

，∴h′（x）=

22x+1ln4

(22x+1)2

＞0，∴函数在R为增函数．

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．