Question

已知曲线C的方程是(t＋1)＋2at)x＋3at＋b＝0，直线l的

方程是y＝t(x－1)，若对任意实数t，曲线C恒过定点P(1，0)．

(1)求定值a，b；

(2)直线l截曲线C所得弦长为d，记f(t)＝，则当t为何值时，f(t)有最大值，最大值是多少？

(3)若点M()在曲线C上，又在直线l上，求的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)∵曲线C恒过定点P(1，0)，∴(t＋1)－2(＋2at)＋3at＋b＝0恒成立，即(1－a)t＋1－＋b＝0恒成立， ∴a＝1，b＝1． 　　(2)由(1)知曲线C为：(t＋1)－2(1＋2t)x＋3t＋1＝0， 以y＝t(x－1)代入得(＋t＋1)－＋3t＋1＝0(*)， ∴＝1，，∴d＝， ∴f(t)＝．(t≠0，否则y＝0，f(t)＝0) 当t＞0时，|t＋＋1|＝t＋＋1≥3，这时f(t)≤； 当t＜0时，t＋≤－2，t＋＋1≤－1，|t＋＋1|≥1，这时f(t)≤2，(t＝－1时取等号)． 综上讨论：＝2，这时t＝－1． 　　(3)由题设知是方程(*)的解，∴＝1或， 当(－1)－1＝0，≠1时必须有Δ＝＝≤0．∴