Question

证明A(2，2)、B(5，3)、C(3，－1)、D(6，0)四点共圆，并求出此圆的圆心和半径．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：设所共圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．将A、B、D三点坐标代入得 　　 　　故过A、B、D三点的圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0． 　　把点C(3，－1)代入方程的左边＝9＋1－24＋2＋12＝0． 　　∴点C在该圆上． 　　∵＝4，＝1， 　　∴圆心为(4，1)，r＝． 　　综上，可得四点共圆于其圆心为(4，1)，半径为，方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0的圆． 　　证法二：∵AB边的中点为()，斜率为kAB＝． 　　∴AB边的垂直平分线的方程为y－＝－3(x－)，即3x＋y－13＝0．① 　　∵BC的中点为(4，1)，kBC＝， 　　∴BC边的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋2y－6＝0．② 　　解①②组成的方程组得 　　∴圆心为(4，1)，半径r＝．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5． 　　思路分析：首先由不共线三点确定一个圆，然后再证第四个点在圆上，用待定系数法求解．

提示：

圆的标准方程中有三个未知量a、b、r；圆的一般方程有三个未知量D、E、F．故确定一个圆需要三个独立的条件，一般利用待定系数法确定．这需要把题目中的已知条件一一转化为关于未知量的方程，利用方程组获得a、b、r或D、E、F的值，进而确定圆的方程．其基本步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2或设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．不过有时利用圆的几何性质，会有更简捷的解题途径．