Question

若函数f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 3 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，则函数F（x）=xf（x）-1零点个数为

 

．

Answer 1

分析：本题即函数f（x）的图象与函数y=

1

x

的图象的交点个数，在同一坐标系中画出两个函数图象，数形结合可得两个函数的图象的交点个数．

解答：解：∵函数f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 3 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，
故函数F（x）=xf（x）-1零点个数，
即方程f（x）=

1

x

 的根的根数，即函数f（x）的图象与函数y=

1

x

的图象的交点个数．
在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：
由图可知函数y=f（x）与函数y=

1

x

图象共有3个交点，分别为A（-1，-1）、B（1，1）、
C（3，

1

3

），
故函数F（x）=xf（x）-1的零点个数为3个，
故答案为：3．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中将求函数零点的问题转化为求两个函数图象交点的问题是解答本题的关键，属于中档题．