Question

直线L经过双曲

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点，

AF

=

1

2

FB

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  2 3

  3

• C、

  3

• D、2

Answer 1

分析：设一渐近线OA的方程为 y=

b

a

x，设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），由

AF

=

1

2

FB

，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于-1，求出a²=3b²，代入e=

c

a

=

a2+b2

a

 进行运算．

解答：解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为 y=

b

a

x，则另一渐近线OB的方程为 y=-

b

a

x，
设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），∵

AF

=

1

2

FB

，∴（c-m，-

bm

a

）=

1

2

（n-c，-

bn

a

），
∴c-m=

n-c

2

，-

bm

a

=-

bn

2a

，∴m=

3c

4

，n=

3c

2

，
∴A（

3c

4

，

3bc

4a

 ）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即

3bc 4a -0

3c 4 -c

•

3bc 4a

3c 4

=-1，
∴a²=3b²，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2 3

3

，
故选B．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．