Question

已知两个正数a、b的等差中项是5，则a²、b²的等比中项的最大值为（　　）

• A、100
• B、50
• C、25
• D、10

Answer 1

分析：由a与b的等差中项为5，根据等差数列的性质可知a+b等于10，然后利用基本不等式得到a+b≥2

ab

，把a+b的值代入即可得到

ab

小于等于5，两边平方即可得到ab的最大值为25，设x为a²、b²的等比中项，根据等比数列的性质得到x²等于a²b²，由a与b是正数得到x等于ab，所以x的最大值也为25，即为a²、b²的等比中项的最大值．

解答：解：由a与b的等差中项为5，得到

a+b

2

=5，
即a+b=10≥2

ab

，所以

ab

≤5，
设x为a²与b²的等比中项，所以x=

a2b2

=ab=(

ab

)2≤5²=25，
则a²、b²的等比中项的最大值为25．
故选C．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列和等比数列的性质化简求值，掌握基本不等式在最值问题中的运用，是一道综合题．