Question

已知直线l₁为曲线y=x²在点（1，1）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（1）求直线l₁与l₂的方程；
（2）求直线l₁，l₂与x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

（1）f′（x）=2x，∴f′（1）=2
∴直线l₁的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1
设l₂与曲线y=x²相切的切点为（x₁，y₁），∵l₁⊥l₂．
∴f′（x₁）=2x₁=-

1

2

，∴x₁=-

1

4

，∴y₁=x₁²=

1

16

，
∴直线l₂的方程为y-

1

16

=-

1

2

（x+

1

4

），即y=-

1

2

x-

1

16

（2）由

y=2x-1 y=- 1 2 x- 1 16

得直线l₁与l₂的交点坐标为（

3

8

，-

1

4

），
又直线l₁，l₂与x轴的交点分别为（

1

2

，0），（-

1

8

，0）
∴所求三角形的面积S=

1

2

|

1

2

-（-

1

8

）|×|-

1

4

|=

5

64

．