Question

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

Answer 1

分析：（1）两次使用二倍角公式展开整理即可求
（2）对已知化简可求cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ=

1

4

cos3θ，而sin20°sin40°sin60°sin80°=cos（60°+10°）cos（60°-10°）cos30°cos10°，代入上式可求

解答：解：（1）由于cos4x=cos（2x+2x）=cos²2x-sin²2x
=（2cos²x-1）²-（2sinxcosx）²
=4cos⁴x-4cos²x+1-4sin²cos²x
=4cos⁴x-4cos²x+1-4（1-cos²x）cos²x
=8cos⁴x-8cos²x+1（3分）
（2）cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ=(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)(

1

2

cosθ-

3

2

sinθ)cosθ
=(

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ)cosθ=

1

4

(4cos2θ-3)cosθ=

1

4

cos3θ（7分）
∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10°
=

3

2

cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°)=

3

2

×

1

4

cos30°=

3

16

点评：本题考查二倍角公式、诱导公式及两角和与差的余弦等公式的综合的应用，正确选择公式是解题的关键．