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由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.
对于cos3x,我们有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cocs.
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.
一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.
(1)请尝试求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x.
(2)化简cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.
分析:(1)两次使用二倍角公式展开整理即可求
(2)对已知化简可求cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ=
1
4
cos3θ
,而sin20°sin40°sin60°sin80°=cos(60°+10°)cos(60°-10°)cos30°cos10°,代入上式可求
解答:解:(1)由于cos4x=cos(2x+2x)=cos22x-sin22x
=(2cos2x-1)2-(2sinxcosx)2
=4cos4x-4cos2x+1-4sin2cos2x
=4cos4x-4cos2x+1-4(1-cos2x)cos2x
=8cos4x-8cos2x+1(3分)
(2)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ=(
1
2
cosθ+
3
2
sinθ)(
1
2
cosθ-
3
2
sinθ)cosθ

=(
1
4
cos2θ-
3
4
sin2θ)cosθ
=
1
4
(4cos2θ-3)cosθ
=
1
4
cos3θ
(7分)
∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10°
=
3
2
cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°)
=
3
2
×
1
4
cos30°
=
3
16
点评:本题考查二倍角公式、诱导公式及两角和与差的余弦等公式的综合的应用,正确选择公式是解题的关键.
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由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(I)求证:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)请求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;
(III)利用结论cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(I)求证:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)请求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;
(III)利用结论cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
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(I)求证:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)请求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;
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=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
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