Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）。

（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M。
（i）求证：点M恒在椭圆C上；
（ii）求△AMN面积的最大值。

Answer 1

解：（1）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为；
（2）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），=1  ①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0
设M（x₀，y₀），则有n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，②
n（x₀-4）+（m-4）y₀=0，③
由②，③得
x₀=，
由于



=1
所以点M恒在椭圆G上。
（ii）设AM的方程为x=ty+1，代入=1得（3t²+4）y²+6ty-9=0
设设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），则有
y₁+y₂=，
|y₁-y₂|=
令3t²+4=λ（λ≥4），
则|y₁-y₂|=
∵λ≥4，
∴当，即时
|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F
△AMN的面积S_△AMN=有最大值。