Question

已知：两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA₁的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设A₁E=m，AF=n．求证：EF=．

Answer 1

证明见解析

解析:

本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．

解法一：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA₁的平面为β，α∩β=c，则   c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA₁⊥c．

∵    AA₁⊥b，  ∴       AA₁⊥α．

根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．

在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA₁．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF₂=EG₂+FG₂．

∵    AG=m，

∴  在△AFG中，FG²=m²+n²－2mncosθ．

∵    EG²=d²，∴ EF²=d²+m²+n²－2mncosθ．

如果点F(或E)在点A(或A₁)的另一侧，则

EF²=d²+m²+n²+2mncosθ．

    因此，EF=

解法二：经过点A作直线c∥a，则c、b所成的角等于θ，且AA₁⊥c．

根据直线和平面垂直的判定定理，AA₁垂直于b、c所确定的平面a．

在两平行直线a、c所确定的平面内，作EG⊥c，垂足为G，则EG平行且等于AA₁，

从而EG⊥α．连结FG，则根据直线和平面垂直的定义，EG⊥FG．

在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²．

(以下同解法一)