Question

“a≥

1

8

”是“对?正实数x，2x+

a

x

≥c”的充要条件，则实数c=

1

．

Answer 1

分析：根据所给的条件，看出对于c的值的符号不同，分两种情况进行讨论，c小于0时，比较简单，当c大于0时，需要分离参数，求出二次函数的值域，根据函数的思想求出结果．

解答：解：若c＜0，则a≥0，不符合题意，
若c＞0，

a

x

≥c-2x，
∴根据x是正数有a≥cx-2x²
∵y=cx-2x²在x是正数时，值域是y≤-2× (

c

4

)2 +c×

c

4

=

c2

8

则a≥

c2

8

，
于是

c2

8

=

1

8

⇒c=1，
故答案为：1

点评：本题考查充要条件的判断，考查二次函数的性质，考查函数的分离参数的思想．本题解题的关键是求出二次函数的最值，根据函数的思想来解题，本题也可转化为二次函数a≥-2x²+cx恒成立展开讨论．