Question

16．已知函数f（x）=m-|x-2|，不等式f（x+2）≥0的解集为[-2，2]．
（1）求m的值；
（2）若?x∈R，f（x）≥-|x+6|-t²+t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知函数解析式得到f（x+2），求解f（x+2）≥0的解集，结合已知不等式的解集得到m值；
（2）若?x∈R，f（x）≥-|x+6|-t²+t恒成立，转化为t²-t+2≥|x-2|-|x+6|对于x∈R恒成立，利用绝对值的不等式求出|x-2|-|x+6|的最大值，然后求解关于t的一元二次不等式得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=m-|x-2|，∴f（x+2）=m-|x|，
则f（x+2）≥0?m-|x|≥0，即|x|≤m，
∴-m≤x≤m，即不等式f（x+2）≥0的解集为[-m，m]．
又不等式f（x+2）≥0的解集为[-2，2]，
∴m=2；
（2）?x∈R，f（x）≥-|x+6|-t²+t恒成立，
即t²-t+2≥|x-2|-|x+6|对于x∈R恒成立，
又|x-2|-|x+6|≤|（x+6）-（x-2）|=8，当且仅当（x-2）（x+6）≥0时等号成立，
∴t²-t+2≥8，解得t≤-2或t≥3，
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查含有绝对值不等式的解法，考查分离变量法，是中档题．