Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且当x∈(-1，1］时，f(x)=x²+2x.

(1)求当x∈(3，5］时，f(x)的解析式;

(2)判断f(x)在（3，5］上的增减性并证明.

Answer 1

(1)解析：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数.

设x∈（3，5］，则-1＜x-4≤1,

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)²+2(x-4)=x²-6x+8(3＜x≤5).

(2)证明：∵f(x)=(x-3)²-1(3＜x≤5)，

∴函数f(x)在（3，5）上是增函数.

用定义：设3＜x₁＜x₂≤5,则f(x₂)-f(x₁)=x₂²-6x₂+8-x₁²+6x₁-8=(x₂-x₁)(x₂+x₁)-6(x₂-x₁)=(x₂-x₁)

(x₁+x₂-6),

∵x₁＜x₂,

∴x₂-x₁＞0,x₁+x₂-6＞3+3-6=0.

∴f(x₂)＞f(x₁),∴f(x)为增函数.