Question

已知．
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；　
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（1）∵2sinxcosx=sin2x，2cos²x=1+cos2x
∴=sin2x+（1+cos2x）-1-=sin2x+cos2x-1
化简，得f（x）=2sin（2x+）-1
∴当2x+=时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数有最大值1
（2）令+2kπ≤2x+≤，得-+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间是[-+kπ，+kπ]（k∈Z）
分析：（1）利用三角函数的二倍角公式进行降次，再用辅助角公式合并，可得（x）=2sin（2x+）-1，最后用正弦函数图象与性质，可得函数的最大值及此时x的值．
（2）由（1）的表达式，结合正弦函数单调区间的结论，解不等式并化简，即可得到f（x）的单调递增区间．
点评：本题给出一个特殊三角函数表达式，叫我们求函数的单调递增区间并求函数最大值，着重考查了二倍角的三角函数公式和辅助角公式，以及正弦函数单调性等知识，属于基础题．