Question

设圆M：x²+y²=8，将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的

1

2

，对应的横坐标不变，得到曲线C．经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交曲线C于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲线C的方程．
（2）由题设条件可知直线l的方程为y=

1

2

x+m．联立方程组后根据直线l与椭圆交于A、B两个不同点可知△＞0，由此能够推导出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．

解答：解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲线C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
它表示一个焦点在x轴上的椭圆．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM=

1

2

，
∴直线l的方程为y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

∴x2+2mx+2m2-4=0，
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
k₁+k₂=0．故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评：本题综合考查椭圆和直线的位置关系，难度较大，解题时要注意公式的灵活运用，仔细审题，避免不必要的错误．