Question

(2007湖南，20)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于A、B两点．

(1)若动点M满足(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；

(2)在x轴上是否存在定点C，使为常数?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：由条件知(－2，0)，(2，0)，设，． (1)设M(x，y)，则，，，．由得 即 于是AB的中点坐标为． 当AB不与x轴垂直时，， 即． 因为A、B两点在双曲线上， 所以，，两式相减得 ， 即． 将代入上式， 化简得． 当AB与x轴垂直时，，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点Ｍ的轨迹方程是． (2)假设在x轴上存在定点C(m，0)，使为常数． 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x－2)(k≠±1)． 代入有． 则是上述方程的两个实根， 所以，． 于是 ． 因为是与k无关的常数，所以4－4m=0，即m=1，此时． 当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可分别设为， 此时． 故在x轴上存在定点C(1，0)，使为常数．