Question

试问数列lg100，lg(100sin

π

4

)，lg(100sin2

π

4

)，…，lg(100sinn-1

π

4

)前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）

Answer 1

分析：根据题意得该数列的第k项的通项a_k，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到a_k≥0且a_k+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．

解答：解：该数列的第k项为：ak=lg(100sinn-1

π

4

)=2-

1

2

(k-1)lg2
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．
要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，
而从第k+1项起以后都是负数因此，
k应适合下列条件：

2- 1 2 (k-1)lg2≥0，(1) 2- 1 2 [(k-1)-1]lg2＜0，(2)

解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2
又k∈N，∴k=14
取k=14，前14项的和
S=

a1+a14

2

×14=28-

91

2

×0.3010≈14.30.

点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．