Question

正方体的棱长为a，P为B₁C₁的中点，A₁C₁与PD₁交于M，B₁C与PB交于N，求证：MN⊥A₁C₁，MN⊥B₁C，并求MN的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：分别以CB，CD，CC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出

MN

，

A1C1

，

B1C

的坐标，运用向量的数量积为0，判断直线垂直，我iu向量的模求线段的长度．

解答： 证明：如图

分别以CB，CD，CC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，正方体的棱长为a，P为B₁C₁的中点，
所以C（0，0，0），P（

1

2

a，0，a），M（

1

3

a，

1

3

a，a），N（

2

3

a，0，

2

3

a），A₁（a，a，a），C₁（0，0，a），B₁（a，0，a），
所以

MN

=（

1

3

a，-

1

3

a，-

1

3

a），

A1C1

=（-a，-a，0），

B1C

=（-a，0，-a），
所以

MN

•

A1C1

=-

1

3

a²+

1

3

a²+0=0，

MN

•

B1C

=-

1

3

a²+0+

1

3

a²=0，|

MN

|=

1

3

a2+a2+a2

=

3

3

a；
所以MN⊥A₁C₁，MN⊥B₁C，MN=

3

3

a．

点评：本题考查了线线垂直的判定以及线段长度的求法；本题借助于空间向量的数量积以及模求直线垂直和线段的长度；关键是适当建立坐标系，正确找出向量的坐标，正确运算．