Question

【题目】设函数．

（1）求函数的零点；

（2）当时，求证：在区间上单调递减；

（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）讨论，且，，解方程可得零点；

（2）可令，运用单调性的定义，证得在递减，可得，即可得到证明；

（3）由题意可得，由绝对值的含义，化简，得到在的单调性，即有，运用绝对值不等式的性质，可得的最大值，即可得到的范围．

解：（1）当时，的零点为；

当且时，由得，

由一元二次方程求根公式得，的零点为；

当时，方程中的判别式，故无零点；

（2）证明：当时，，可令，

任取，

，

由，可得，，进而，

即，可得在上递减，

可得时，，

则，

即在区间上单调递减；

（3）对任意的正实数，总存在，，使得，则，

当时，，

则在递减，在，递增，

可得，

由于，设，可得，，

可得，即有，可得，

则．