Question

5．已知函数$f（x）=\frac{1}{a}-\frac{1}{x}；（a＞0）$．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域、值域都是$[{\frac{1}{2}，2}]$，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性的定义证明即可；
（2）根据函数的单调性得到关于a的方程组，解出即可．

解答 （1）证明：设x₂＞x₁＞0，
则f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，
∴$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）递增；
（2）解：∵f（x）在（0，+∞）递增，
且定义域和值域均是[$\frac{1}{2}$，2]，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{a}-2=\frac{1}{2}}\\{f（2）=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}=2}\end{array}}\right.$，
所以存在实数$a=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．