Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若点P线段BN上，且三棱锥P-AMN的体积VP-AMN=

5

21

，求

NP

PB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁，设AC的中点为D，连接DN，A₁D，只需证明A₁D∥MN即可；
（Ⅱ）通过三棱锥P-AMN的体积VP-AMN=

5

21

，利用棱柱的高，求出△APN的面积，再利用面积的比求

NP

PB

的值．

解答：解：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN

∥ .

.

1

2

AB（2分）
又∵A1M=

1

2

A1B1，A1B1

∥ .

.

AB，
∴A1M

∥ .

.

DN，
∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，
MN?平面ACC₁A₁∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）∵VP-AMN=VM-APN=

5

21

又M到底面ABC的距离：AA₁=2
∴

1

3

×S△APN×AA1=

5

21

（8分）
∵N为BC中点∴S△ABN=

1

2

S△ABC=

1

2

×AB×AC=

1

2

（9分）
∵P点在线段BN上时，

PN

BN

=

S△APN

S△ABN

=

5

7

（11分）
此时

NP

PB

=

5

2

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查棱锥的体积，学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．