(本小题满分13分)
对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数
列具有“性质”。
不论数列是否具有“性质”,如果存在与不是同一数列的,且同
时满足下面两个条件:①是的一个排列;②数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”。
(I)设数列的前项和,证明数列具有“性质”;
(II)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列,不具此性质的说明理由;
(III)对于有限项数列:1,2,3,…,,某人已经验证当时,
数列具有“变换性质”,试证明:当”时,数列也具有“变换性质”。
(I)证明见解析。
(II)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,
数列为3,2,1,5,4。
数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”
因为11,4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质”
(III)证明见解析。
【解析】(I)当时, …………1分
…………2分
又。 …………3分
所以是完全平方数,
数列具有“P性质” …………4分
(II)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”, …………5分
数列为3,2,1,5,4 …………6分
数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质” …………7分
因为11,4都只有5的和才能构成完全平方数
所以数列1,2,3,…,11不具有“变换P性质” …………8分
(III)设
注意到
令
由于,
所以
又
所以
即 …………10分
因为当时,数列具有“变换P性质”
所以1,2,…,4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方数 …………11分
另外,可以按相反顺序排列,
即排列为
使得
…………12分
所以1,2,可以排列成
满足都是平方数.
即当时,数列A也具有“变换P性质”…………13分
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象.
(3)设0<x<,且方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,为的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且,函数,数列{}的首项.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面积
(3) 求数列的前项和
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