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已知动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过定点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(1)利用动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切,根据抛物线的定义,可得轨迹C为以A(2,0)为焦点,X=-2为准线的抛物线,由此可得动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理及向量知识,即可求出直线l的方程.
解答:解:(1)由题意可知,圆心到定点A(2,0)的距离与到定直线X=-2的距离相等,
由抛物线定义可知,轨迹C为以A(2,0)为焦点,X=-2为准线的抛物线,
∴p=2,∴抛物线方程为y2=8x                  …(4分)
(2)假设存在直线l符合题意.…(5分)
由题意易知,直线l的斜率k存在且不为零,
又因过点(0,1),故设直线l的方程为y=kx+1,…(6分)
联立直线与抛物线方程得,消元整理得k2x2+(2k-8)x+1=0,
设交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2),则△=(2k-8)2-4k2>0,∴k<2 ①
且x1+x2=;                                         …(9分)
=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)=(k2+1)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5
=+(k-2)•()+5==0
∴k=符合①,…(12分)
所以存在符合题意的直线l,其方程为y=()x+1.…(13分)
点评:本题考查轨迹方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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PA
=3
AQ
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(2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过定点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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