Question

已知函数f（x）=|x+1|+2|x-a|，a∈R，
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5；
（2）当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＜0时，若关于x的方程2x[f（x）-1]=a在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）通过绝对值的含义，去绝对值符号，得到f（x），再解f（x）＞5，最后求并集即可；
（2）通过去绝对值，求得f（x）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；
（3）通过a＜0，x＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）f（x）=|x+1|+2|x-1|=

1-3x，x≤-1 3-x，-1＜x＜1 3x-1，x≥1

，
由

1-3x＞5 x≤-1

解得，x＜-

4

3

；由

-1＜x＜1 3-x＞5

解得，x∈∅；
由

3x-1＞5 x≥1

解得，x＞2．
则不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，-

4

3

）；
（2）当a＞0时，f（x）=

-3x+2a-1，x≤-1 2a+1-x，-1＜x＜a 3x+1-2a，x≥a

，
当x≤-1时，f（x）≥2a+2，
当-1＜x＜a时，1+a＜f（x）＜2+2a；
当x≥a时，f（x）≥1+a．
即有f（x）的值域为[1+a，+∞）．
当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，即有
3＜1+a，解得，a＞2；
（3）当a＜0且x＞1时，关于x的方程2x[f（x）-1]=a，即为
2x（x+1+2x-2a-1）=a，即为2x（3x-2a）=a，
上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．
则a＜0．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．