Question

一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈[0，1）），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当

10

a

+

1

9b

取最小值时，c的值为（　　）

• A、

  1

  11

• B、

  2

  11

• C、

  5

  11

• D、0

Answer 1

分析：由已知条件知

10a

9

+b=1，由此利用均值定理求出

10

a

+

1

9b

在a=9b时取最小值，由此能求出解得a=

9

11

，b=

1

11

，c=

1

11

．

解答：解：∵该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，
既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈[0，1）），
该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，
∴10a+9b=9，即

10a

9

+b=1，
∴

10

a

+

1

9b

=（

10

a

+

1

9b

）（

10a

9

+b）=

100

9

+

10a

81b

+

10b

a

+

1

9

≥

101

9

+2

10a 81b • 10b a

=

101

9

+2×

10

9

=

121

9

，
当且仅当

10a

81b

=

10b

a

时取“=”，
此时a=9b，解得a=

9

11

，b=

1

11

，c=

1

11

．
故选：A．

点评：考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．