Question

抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-2，该抛物线上的点到其准线的距离与到定点N的距离都相等，以N为圆心的圆与直线
l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l同时满足下列两个条件，若存在，求出的方程；若不存在请说明理由．
①l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E（4，1）；
②l被圆N截得的弦长为2．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为抛物线y²=2px的准线的方程为x=-2，
所以p=4，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，则定点N的坐标为（2，0）．
所以 圆N的方程（x-2）²+y²=2． （3分）
（Ⅱ）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，
设l的方程为y-1=k（x-4），（k≠±1），
以N为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圆N的半径为，（5分）
因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，
即，解得，
当k=0时，显然不合AB中点为E（4，1）的条件，矛盾！
当时，l的方程为4x-3y-13=0，（7分）
由，解得点A坐标为（13，13），
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是E（4，1），矛盾！
所以不存在满足条件的直线l． （10分）
分析：（Ⅰ）根据抛物线y²=2px的准线的方程为x=-2，可得p=4，再根据抛物线的定义可求出定点N的坐标，从而求出圆N的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y-1=k（x-4）（k≠±1），以N为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圆N的半径为 ，因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，由此入手能够推导出不存在满足条件的直线l．
点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，主要考查直线和圆锥曲线的综合运用，考查存在性问题的探究，具有一定的难度，注意合理地进行等价转化是解题的关键．