已知抛物线x2=4y与圆x2+y2=32相交于A、B两点,圆与y轴正半轴交于C点,直线l是圆的切线,交抛物线于M、N,并且切点在上.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)当M、N两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线l的方程.
解:(1)由得A(-4,4),B(4,4). 由得C(0,4). (2)设直线l:y=kx+b,且直线l与抛物线交于M(x1,y1)、N(x2,y2),抛物线x2=4y的准线为y=-1,焦点为F,由抛物线定义知: d=|MF|+|NF|=y1+y2+2. 由得y2-2(b+2k2)y+b2=0, 则y1+y2=2(b+2k2). 又因为l与圆相切于,所以=42,即k2=-1. 因为直线l过C点时,b取最小值4; 直线l过A或B点时,b取最大值8, 所以b∈[4,8]. 所以d=+2b-2=(b+8)2-10. 当b=8时,d取最大值,此时k=±1,所以所求直线l的方程为y=x+8,或y=-x+8. 解析:设直线方程为y=kx+b,利用抛物线的定义,将点M、N到抛物线焦点的距离转化为到准线的距离,然后利用直线l与抛物线的关系,借助于直线l与圆相切,找出k与b的关系,再用配方法求出最值,从而确定直线方程. |
本题的难点有两个:一是如何建立b与k的关系;二是利用图形去确定b的范围,从而求出最大值. |
科目:高中数学 来源:设计选修数学2-1苏教版 苏教版 题型:044
如图,已知抛物线x2=4y与圆x2+y2=32相交于A、B两点,圆与y轴正半轴交于C点,直线l是圆的切线,交抛物线于M、N,并且切点在上,
(1)求A、B、C点的坐标;
(2)当M、N两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源:吉林省东北师大附中2009届高三第三次摸底考试(数学理) 题型:044
已知抛物线x2=4y,过定点M0(0,m)(m>0)的直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线,A、B为切点,求证:这两条切线的交点P(x0,y0)在定直线y=-m上.
(Ⅱ)当m>2时,在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线l对称,弦长|PQ|中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用m表示),若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年上海交大附中高三数学理总复习二圆锥曲线的综合问题练习卷(解析版) 题型:选择题
已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A. B.
C.1 D.2
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明·为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明·为定值;(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.
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